Wang Haihua
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在许多实际问题中，有时评价因素具有模糊性，有时评价对象具有模糊性，这时需要采用模糊评价方法进行评价。设$I=\{x_1,x_2,...,x_p\}$为研究对象的$p$种指标构成的指标集；$V=\{v_1,v_2,...,v_s\}$ 为指标的$s$种评语构成的评语集；指标集的权重向量为 $$ W = [w_1,w_2,...,w_p], j=1,2, \cdots, p $$
$$ \sum_{j=1}^{p} w_{j}=1, w_j\ge0 $$模糊综合评价的一般步骤如下：
Step 1：确定指标集$I=\{x_1,x_2,...,x_p\}$及权重向量$W = [w_1,w_2,...,w_p]$。权重是表示指标重要性的相对数值，通常通过收集公开的统计数据、问卷调查以及专家打分的方法获得评价指标的权向量 。
Step 2: 建立评语集。$s$个评语构成的评语集，记作 $V=\{v_1,v_2,...,v_s\}$
Step 3: 建立单指标评价向量，综合起来获得评价矩阵 $R=\left(r_{i j}\right)_{p \times s}$
Step 4: 合成模糊综合评价结果向量。利用合适的算子将$W$与评价矩阵$R$进行合成，得到被评事物的模糊综合评价结果向量$A$。即 \begin{aligned} W \circ R&=\left[w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{p}\right] \circ\left[\begin{array}{cccc} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1 s} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2 s} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ r_{p 1} & r_{p 2} & \cdots & r_{p s} \end{array}\right] \\ &=\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}\right] \triangleq A \end{aligned}
Step 5: 其中$a_i$是由$W$与$R$的第$i$列运算得到的，它表示被评事物从整体上看对$v_i$等级模糊子集的隶属程度。
(1) $M(\wedge, \vee)$ 算子 $$ a_{k}=\vee\left(w_{j} \wedge r_{j k}\right)=\max _{1 \leq j \leq p}\left\{\min \left(w_{j}, r_{j k}\right)\right\}, \quad k=1,2, \cdots, s . $$ 例如 $$\left[\begin{array}{lll}0.3 & 0.3 & 0.4\end{array}\right] \circ\left[\begin{array}{cccc}0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}0.3 & 0.3 & 0.3 & 0.2\end{array}\right] .$$
(2) $M(\cdot, \vee)$ 算子 $$ b_{k}=\underset{j=1}{\vee}\left(w_{j} \cdot r_{j k}\right)=\max _{1 \leq j \leq p}\left\{w_{j} \cdot r_{j k}\right\}, \quad k=1,2, \cdots, S . $$ 例如 $$\left[\begin{array}{lll}0.3 & 0.3 & 0.4\end{array}\right] \circ\left[\begin{array}{cccc}0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}0.15 & 0.12 & 0.12 & 0.08\end{array}\right]$$
(3) $M(\wedge,+)$ 算子 $$ b_{k}=\sum_{j=1}^{p} \min \left(w_{j}, r_{j k}\right), \quad k=1,2, \cdots, s $$ 例如 $$\left[\begin{array}{lll}0.3 & 0.3 & 0.4\end{array}\right] \circ\left[\begin{array}{cccc}0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}0.8 & 0.8 & 0.7 & 0.3\end{array}\right]$$
(4) $M(\cdot,+)$ 算子 $$ b_{k}=\sum_{j=1}^{p} w_{j} r_{j k}, \quad k=1,2, \cdots, s . $$ 例如 $$\left[\begin{array}{lll}0.3 & 0.3 & 0.4\end{array}\right]\circ\left[\begin{array}{cccc} 0.5 & 0.3 & 0.2 & 0 \\ 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll} 0.32 & 0.29 & 0.24 & 0.11 \end{array}\right] $$
某校规定，在对一位教师的评价中，若“好”与“较好”占50%以上，可晋升为教授，教授分教学型教授和科研型教授，在评价指标上给出不同的权重，分别为$W_{1}=[0.2,0.5,0.1,0.2], W_{2}=[0.2,0.1,0.5,0.2]$。学科评议组由7人组成，对某教师的评价见下表，请判别该教师能否晋升，可晋升为哪一级教授。
$$ \begin{array}{l|ccccc} \hline & \text { 好 } & \text { 较好 } & \text { 一般 } & \text { 较差 差 } \\ \hline \text { 政治表现 } & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \text { 教学水平 } & 6 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \text { 科研水平 } & 0 & 0 & 5 & 1 & 1 \\ \text { 外语水平 } & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} $$解 将评议组 7 人对牜一项的投票按百分比转化成隶属度得综合评判 矩阵: $$ \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccccc} 0.5714 & 0.2857 & 0.1429 & 0 & 0 \\ 0.8571 & 0.1429 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.7143 & 0.1429 & 0.1429 \\ 0.2857 & 0.2857 & 0.1429 & 0.1429 & 0.1429 \end{array}\right] $$
按合成 $M(\cdot,+)$ 算子, 即通常的加权求和, 得到综合评价值 $$ \begin{aligned} &A_{1}=W_{1} \circ R=[0.6,0.1857,0.1286,0.0429,0.0429], \\ &A_{2}=W_{2} \circ R=[0.2571,0.1286,0.4143,0.1,0.1] . \end{aligned} $$ 显然, 对第一类权重“好”与“较好”占 50\%以上, 故该教师可晋升为教学型教 授。
参考文献